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© Peter Otto
schuelermosaik.de
 

TERME und TERMUMFORMUNGEN


Begriffe Einfache Termumformungen Addition und Subtraktion von Summentermen Multiplikation von Produkttermen
Division von Produkttermen Umformung eines Produktterms in einen Summenterm und umgekehrt Multiplikation von Summentermen Arithmetischer Beweis

 

1. Begriffe

Begriff Beschreibung Beispiele
Terme Ziffern, Variable und Zusammensetzungen aus ihnen mit Hilfe der Rechenzeichen 3 ; a ;  3/4 ; 2,7 + x ; (6 - 4a) - 8b ; ;
Gleichungen Ausdrücke, in denen zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind 5 + 7 = 12 ; 4 + x = 5,5 ;
Ungleichungen Ausdrücke, in denen zwei Terme durch < bzw. durch > verbunden sind 5 + 3 < 12 ; 12 - y > 20 ;

2. Einfache Termumformungen

Merke:  Alle Termumformungen führen zu einander äquivalenten Termen. 

Aufgabe:

Vereinfache den Term 3x + 4y -5x -3y -6x + 2y!

Vorgehen:  Fasse nur Ausdrücke mit den gleichen Variablen zusammen! 

Lösung:

3x + 4y -5x -3y -6x + 2y = 3x - 5x - 6x +4y -3y +2y  Ordnen!
  = -8x + 3y Zusammenfassen!

3. Addition und Subtraktion von Summentermen

a)  Addition

Gegeben:  T1 = 4x - 7y  
  T2 = -9x + 4y  
Bilde und vereinfache T1 + T2!    
     
Lösung:  (4x - 7y) + (-9x + 4y) Klammern auflösen!
  = 4x - 7y - 9x + 4y Ordnen!
  = 4x - 9x - 7y + 4y Zusammenfassen!
  = -5x -3y Ergebnis
     
Auflösen der Klammern:  a + (b - c) = a + b - c 
Steht ein Plus vor der Klammer, kann die Klammer einfach weggelassen werden.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des zweiten Summanden bleiben erhalten.

         
a)  Subtraktion

Gegeben:  T1 = 8a + 2b  
  T2 = -7b + 5a  
Bilde und vereinfache T1 - T2!    
     
Lösung:  (8a + 2b) - (-7b + 5a) Klammern auflösen!
  = 8a + 2b + 7b - 5a Ordnen!
  = 8a -5a + 2b + 7b Zusammenfassen!
  = 3a + 9b Ergebnis
     
Auflösen der Klammern:  a - (b - c) = a - b + c 
Steht ein Minus vor der Klammer, kann die Klammer weggelassen werden, wenn sich die Vorzeichen ändern.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des Subtrahenden ändern sich entgegengesetzt!

Beispielaufgaben:

1. Schreibe den folgenden Term nur mit positiven (+) Rechenzeichen!
  6x - 23y -7z

6x + (-23y) + (-7z)
       
2. Schreibe den folgenden Term nur mit negativen (-) Vorzeichen!
  12x - 8y +9z

+ (-12x) + (-8y) + (-9z)
       
3. Schreibe den folgenden Term nur mit negativen (-) Rechenzeichen!
  1,3a + 9,7b + 4,5c

- (+1,3a) - (-9,7b) - (-4,5c)
       
4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen!
  26x - (12x -34) + (-23 + 20x) - (-8x +10)
  = 26x - 12x + 34 - 23 + 20x + 8x - 10
  = 26x - 12x + 20x + 8x + 34 -23 -10
  = 42x + 1

6.  Umformung eines Produktterms in einen Summenterm und umgekehrt


Anwendung des Distributivgesetzes:

Produktterm Summenterm
 
 

 
 

 
 

 


(1) Umformen eines Produktterms in einen Summenterm
      (Ausmultiplizieren)


Hinweis:  Multipliziere den Faktor 3x mit jedem Summanden in der Klammer und addiere die so entstandenen Produkte! 

Beispiele:
a)   -4y(x - 3x² + 1,5) =
  = -4xy + 12x²y - 6y 
  = 12x²y - 4xy - 6y 

b) 
  = 3x² + 6xy - [4x² - 8xy]
  = 3x² + 6xy - 4x² + 8xy
  = -x² + 14xy


(2) Umformen eines Summenterms in einen Produktterm
     (Ausklammern oder Faktorisieren)


4y³ - 6y² + 8xy
 
 


Vorgehen: 1. Suche in jedem Summanden einen (den) gemeinsamen Faktor!
  2. Klammere diesen gemeinsamen Faktor aus!
(Schreibe den Faktor vor eine Klammer!)
  3. Bilde die Restsumme, indem du jeden Summanden in der Klammer durch diesen ausgeklammerten Faktor dividierst!
Kürze und addiere die so entstandenen Quotienten!
  4. Multipliziere den ausgeklammerten Faktor mit der Restsumme!

Beispiele:

a)  6x² - 2x
b)  -3ax - 12xy + 15x²  
   
c)  12a² - 9a + 27  
 


7.  Multiplikation von Summentermen


(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Man multipliziert jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer und addiert die so entstandenen Produkte.
Gleiche Variablenausdrücke fasst man zusammen.

Diese Regel kann für a, b, c, d durch Rechteckflächen veranschaulicht werden:

(a + b)(c + d) = ac  +  ad  + bc + bd

Beispiele:

=  2x + x² + 6 + 3x  =  x² +5x +6

=  20a + 4a² - 15 - 3a  = 4a² + 17a - 15

= 15rs - 18r² - 20s² + 24rs
                                                                                                      = -18r² + 39rs - 20s²

Kürzer:

6a² + 12ab - 10ab - 20b² = 6a² + 2ab 20b²


Übungsaufgaben - st01:

Multiplizieren Sie die Terme und fassen Sie gleiche Variablenausdrücke zusammen!

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Lösungen

8.  Der arithmetischer Beweis (Beweisführung von Sätzen)

Wie ist ein Beweis aufgebaut?

Voraussetzung: Was wird vorausgesetzt? 
Behauptung: Was wird behauptet?
Beweis: Beweis der Behauptung mit Hilfe der Voraussetzung sowie anderen schon bewiesenen Sätzen, Definitionen bzw. Regeln

Beispiele:

1. Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets gerade.
Voraussetzung: n; n+1; n+2; n+3; n N
Behauptung: 2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3)         (2/n  →   2 ist ein Teiler von n)
Beweis: 2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3)
= 2/n+n+1+n+2+n+3
= 2/4n+6
= 2/2(2n+3)      →  2 N (2n+3) N
→  2/2    →    (Regel zur Teilbarkeit von Produkten)         2/2(2n+3)
  2/4n+6
  2/n+n+1+n+2+n+3
  2/n+(n+1)+(n+2)+(n+3)                     w. z. b. w. 



2. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ungeraden, natürlichen Zahlen ist stets ungerade.
Voraussetzung: 2 n+1; 2n+3; 2n+5; n N
Behauptung: (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)   →  ungerade, d. h. nicht durch 2 teilbar
Beweis: 2n+1+2n+3+2n+5
= 6n+9
= 2(3n+9/2)      →     2 N (3n+9/2) N
  2 (3n+9/2)
  2
6n+9
  2
2n+1+2n+3+2n+5   
  2 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)             w. z. b. w. 


 
3. Wenn die kleinste von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ungerade ist, so ist deren Summe durch 6 teilbar.
Voraussetzung: 2 n+1; 2n+2; 2n+3; n N
Behauptung: 6/(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)
Beweis:







(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)
= 2n+1+2n+2+2n+3
= 6n+6
= 6(n+1)      →     1 N
→  6/6    →    (Regel zur Teilbarkeit von Produkten)         6/6(n+1)
  6/6n+6
  6/2n+1+2n+2+2n+3   
  6/(2n+1)+(2n+2)+(2n+3)             w. z. b. w.