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Peter Otto
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TERME und
TERMUMFORMUNGEN
1. Begriffe
| Begriff |
Beschreibung |
Beispiele |
| Terme |
Ziffern, Variable und Zusammensetzungen aus ihnen mit
Hilfe der Rechenzeichen |
3 ; a ;
3/4 ; 2,7 + x ; (6 -
4a) - 8b ;
 ;
 |
| Gleichungen |
Ausdrücke, in denen zwei Terme durch ein
Gleichheitszeichen verbunden sind |
5 + 7 = 12 ; 4 + x = 5,5 ;
 |
| Ungleichungen |
Ausdrücke, in denen zwei Terme durch < bzw. durch
> verbunden sind |
5 + 3 < 12 ; 12 - y > 20 ;
 |
2.
Einfache Termumformungen
|
Merke: |
Alle Termumformungen
führen zu einander äquivalenten Termen. |
Aufgabe:
Vereinfache den Term 3x + 4y -5x
-3y -6x + 2y!
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Vorgehen: |
Fasse
nur Ausdrücke mit den gleichen
Variablen zusammen! |
Lösung:
|
3x + 4y -5x -3y -6x + 2y |
= 3x - 5x - 6x +4y -3y +2y |
Ordnen! |
| |
= -8x + 3y |
Zusammenfassen! |
3.
Addition und Subtraktion von
Summentermen
a) Addition
| Gegeben: |
T1 = 4x - 7y |
|
| |
T2 = -9x + 4y |
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| Bilde und vereinfache T1 + T2! |
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| Lösung: |
(4x - 7y) + (-9x + 4y) |
Klammern auflösen! |
| |
= 4x - 7y - 9x + 4y |
Ordnen! |
| |
= 4x - 9x - 7y + 4y |
Zusammenfassen! |
| |
= -5x -3y |
Ergebnis |
| |
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|
Auflösen der Klammern: |
a +
(b - c) = a + b - c
Steht ein Plus vor der Klammer, kann die Klammer einfach
weggelassen werden.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des zweiten Summanden bleiben erhalten. |
a) Subtraktion
| Gegeben: |
T1 = 8a + 2b |
|
| |
T2 = -7b + 5a |
|
| Bilde und vereinfache T1 - T2! |
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| Lösung: |
(8a + 2b) - (-7b + 5a) |
Klammern auflösen! |
| |
= 8a + 2b + 7b - 5a |
Ordnen! |
| |
= 8a -5a + 2b + 7b |
Zusammenfassen! |
| |
= 3a + 9b |
Ergebnis |
| |
|
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|
Auflösen der Klammern: |
a -
(b - c) = a - b + c
Steht ein Minus vor der Klammer, kann die Klammer
weggelassen werden, wenn sich die Vorzeichen ändern.
Die Vor- bzw. Rechenzeichen des Subtrahenden ändern sich
entgegengesetzt! |
Beispielaufgaben:
| 1. |
Schreibe den folgenden
Term nur mit positiven (+) Rechenzeichen! |
| |
6x - 23y -7z |
→ |
6x
+ (-23y) + (-7z) |
| |
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| 2. |
Schreibe den
folgenden Term nur mit negativen (-) Vorzeichen! |
| |
12x - 8y +9z |
→ |
+ (-12x)
+ (-8y) + (-9z) |
| |
|
|
|
| 3. |
Schreibe den
folgenden Term nur mit negativen (-) Rechenzeichen! |
| |
1,3a + 9,7b + 4,5c |
→ |
-
(+1,3a) - (-9,7b)
- (-4,5c) |
| |
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| 4. |
Löse die
Klammern auf und fasse zusammen! |
| |
26x - (12x
-34) + (-23 + 20x) - (-8x +10) |
| |
= 26x - 12x +
34 - 23 + 20x + 8x - 10 |
| |
= 26x - 12x +
20x + 8x + 34 -23 -10 |
| |
=
42x + 1 |
6. Umformung eines Produktterms in einen Summenterm
und umgekehrt
Anwendung des Distributivgesetzes:
(1) Umformen eines Produktterms in einen Summenterm
(Ausmultiplizieren)
|
Hinweis: |
Multipliziere den Faktor
3x mit jedem Summanden in der Klammer und
addiere die so entstandenen Produkte! |
Beispiele:
| a) -4y(x - 3x² + 1,5) |
=
 |
| |
= -4xy + 12x²y - 6y |
| |
= 12x²y - 4xy - 6y |
b)
 |
 |
| |
= 3x² + 6xy - [4x² - 8xy] |
| |
= 3x² + 6xy - 4x² + 8xy |
| |
= -x² + 14xy |
(2) Umformen eines Summenterms in einen Produktterm
(Ausklammern oder Faktorisieren)
|
Vorgehen: |
1. |
Suche in jedem Summanden
einen (den) gemeinsamen Faktor! |
| |
2. |
Klammere diesen
gemeinsamen Faktor aus!
(Schreibe den Faktor vor eine Klammer!) |
| |
3. |
Bilde die Restsumme, indem du jeden Summanden in der
Klammer durch diesen ausgeklammerten Faktor dividierst!
Kürze und addiere die so entstandenen Quotienten! |
| |
4. |
Multipliziere den ausgeklammerten Faktor mit der
Restsumme! |
Beispiele:
| a) 6x² - 2x |
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 |
| b) -3ax - 12xy + 15x² |
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| c) 12a² - 9a + 27 |
 |
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7.
Multiplikation von Summentermen
(a + b)(a + d) = ac + ad + bc + bd
Man
multipliziert jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der
zweiten Klammer und addiert die so entstandenen Produkte.
Gleiche Variablenausdrücke fasst man zusammen.
Diese Regel kann für a, b, c, d durch Rechteckflächen veranschaulicht werden:
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 |
 |
 |
 |
 |
|
(a + b)(a + d) |
= |
ac |
+ ad |
+ bc |
+ bd |
Beispiele:
 =
2x + x² + 6 + 3x = x² +5x +6
 =
20a + 4a² - 15 - 3a = 4a² + 17a - 15
 = 15rs
- 18r² - 20s² + 24rs
= -18r² + 39rs - 20s²
Kürzer:
 6a² +
12ab - 10ab - 20b² = 6a² + 2ab 20b²
Übungsaufgaben - st01:
Multiplizieren Sie die Terme und fassen Sie gleiche Variablenausdrücke
zusammen!
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
Lösungen
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