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Quadratische Funktionen
[Allgemeine
Form] [Sonderfälle] [y
= x²] [y
= ax² + c] [y = (x + d)² + e] [Quadratische Ergänzung]
[y = x² + px + q]
[Nullstellen] [Ermittlung
der Funktionsgleichung] [Übungen]
1. Begriff:
Die durch die Gleichung f(x) = ax² + bx + c
für a, b, c
R und a ≠
0 definierte Funktion f (x) heißt quadratische Funktion oder
Funktion zweiten Grades.
2. Funktionsgleichung:
y = f(x) = ax² + bx + c
→ allgemeine Form der Gleichung einer quadratischen Funktion
↓
Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten
der Funktion.
3. Sonderfälle
der allgemeinen Form:
(1) a = 1, b = 0 und c =
0 → y = x² → Normalparabel(2) c
≠ 0 und b = 0 → y = x² + c → Verschiebung
der Normalparabel
entlang der y - Achse um c
(3) a > 0, c =
0 und b= 0 → y =
ax²
→ die um a gestreckte oder gestauchte
Normalparabel
(4) a = 1, d ≠ 0 und
e ≠ 0 → y = (x + d)² + e →
Verschiebung
der Normalparabel
entlang der y - Achse um e und
entlang
der x- Achse um d
(5) a = 1, b = p
und c = q → y = x² + px + q →
Normalform einer quadratischen
Funktion
(6) a < 0, b ≠ 0 und
c ≠ 0 →
Parabel öffnet nach unten
4.
Die quadratische Funktion y = x²
Sonderfall der allgemeinen Form einer
quadratischen Funktion für a = 1 und b = 0 und c = 0
Wichtige Eigenschaften der Funktion y =
x²
(1) Definitionsbereich:
x
R
(2)
Wertebereich:
y
R und y
0
(3) f (0) = 0 ist der kleinste
Funktionswert.
(4)
Im Intervall x
 0 fällt
das Bild der Funktion monoton.
Im Intervall x
0 steigt das Bild der Funktion monoton.
(5) Das
Bild der Funktion ist eine quadratische Parabel.
→
Normalparabel
Das Bild liegt
axialsymmetrisch zur y - Achse.
4.
Die quadratische Funktion y
= ax² + c
Wie erhält man das Bild der
Funktion y = ax² + c aus dem Bild der Funktion y = x² (Normalparabel)?
(1) Die Normalparabel wurde um "c"
Einheiten entlang der y - Achse verschoben.
(2) Die Normalparabel wurde um den
Faktor "a" gestreckt bzw. gestaucht.
(3) Das Bild der Funktion y = ax² + c
ist eine quadratische Parabel.
(4) Die Scheitelpunktkoordinaten sind:
S (0 ; c)
(5) Wenn a < 0, dann öffnet die Parabel
nach unten.
Fallunterscheidung
(1) a = 1
→
Normalparabel y = x²
(2) a > 1
→ Parabel gestreckt im
Vergleich zur Normalparabel y = x²
(3) 1 >
a > 0 →
Parabel gestaucht im Vergleich zur Normalparabel y = x²
(4) a < 0
→ Parabel an der x-Achse
gespiegelt (öffnet nach unten)
Beispiele:
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(1) y = 2x² - 3
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(2) y = 3,5x² + 1,5
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(3) y = -4x² + 2,5
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(4) y = 0,4x² - 3,5
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5.
Die quadratische Funktion y =
(x+d)² + c
Ziel:
Grafische Darstellung der Funktion mit Hilfe der Normalparabel
(Schablone)!
notwendig: Scheitelpunktkoordinaten
S (x;y) →
S (-d;e)
Aufgabe:
Ermitteln Sie aus der Normalform einer quadratischen Gleichung y = f (x) die Form y =
(x + d)² + e, lesen Sie daraus die Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) ab und stellen
Sie
die Funktion mit Hilfe der Schablone der Normalparabel grafisch dar!
Bilden Sie dazu
die quadratische Ergänzung!
Beispiel:
y = x² - 6x + 7
↓
quadratische Ergänzung zu (x² - 6x)
→ Eine "quadratische
Ergänzung" macht einen Term
bestimmen der Form x² + p zu einem vollständigen Quadrat
der
Form (x + p)²
y = x² - 6x + (3² - 3²) + 7
→ Man ermittelt die "quadratische
Ergänzung",
indem man das Quadrat von p/2 bildet!
Damit man die "quadratische Ergänzung" dem
Term bedenkenlos hinzufügen kann,
muss man sie
↓
umformen gleichzeitig wieder subtrahieren! Hier: (3²
- 3²)
y = (x² - 6x + 3²) - 9 + 7
↓ vollständiges
Quadrat angeben
y = (x - 3)² - 2
↓
Scheitelpunktkoordinaten S (-d;e) angeben
y = (x - 3)² - 2
→ y = (x + d)² + e
→ d = - 3 →
- d = 3 und
e = - 2
→ S (3;-2)
Scheitelpunktkoordinaten
Weiteres Beispiel:
y = x² + 4x + 3 →
y = x² + 4x + (2² - 2²) + 3 → y = (x² + 4x
+2²) - 4 + 3
→ y = (x + 2)² - 1
→ S (-2;-1)
6. Die
Normalform einer quadratischen Funktion: y = x² + px + q
Ziel:
Überführen Sie die Normalform einer quadratischen Funktion in
eine Funktion mit der Gleichung
y = (x + d)² + e!
y = (x + p/2)² - (p/2)²
+q → y =
(x + p/2)² - p²/4 + q
→ y = (x +
p/2)² - (p²/4 - q)
Beschreibung: d = p/2
und q = p²/4
- q
Scheitelpunktkoordinaten: S (-p/2;
q - p²/4)
Merke:
Die Differenz p²/ 4 - q nennt man die
Diskriminante D der betreffenden quadratischen
Funktion. Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat als Graph eine
zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S (-p/2;
q - p²/4) bzw. S (-p/2; - D).
Jede Funktion y = x² + px + q nimmt also an der Stelle xS = -p/2
ihren kleinsten Funktionswert yS = -D an.
Für x
-p/2 ist die
Funktion monoton fallend und für x
-p/2
monoton wachsend.
7. Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + px + q
Merke:
Jede quadratische Funktion y = x² + px + q hat genau dann
Nullstellen, wenn für die Diskriminante D gilt: D = p²/4
- q ≥ 0.
Fallunterscheidung:
| D = p²/4 - q |
ys = -D |
Parabel y = x² + px + q |
Funktion y = x² + px + q |
| D > 0 |
ys < 0 |
schneidet die x-Achse in zwei verschiedenen
Punkten |
hat genau zwei verschiedene Nullstellen |
| D = 0 |
ys = 0 |
berührt die x-Achse |
hat genau eine Nullstelle |
| D < 0 |
ys > 0 |
hat keine gemeinsamen Punkte mit der x-Achse |
hat keine Nullstellen |
Beispielaufgabe:
Diskutieren Sie ohne eine grafische Darstellung die quadratische Funktion y = x² +
4x + 1 hinsichtlich:
a) Scheitelpunktkoordinaten
b) Wertebereich
c) Definitionsbereich
d) Monotonieverhalten
e) Existenz von Nullstellen
f) kleinster Funktionswert (Minimum)
Lösung:
y = x² + 4x + 1 →
y = (x + 2)² - 3
a) S(-2; -3)
b) y
-3
c) -∞
x
∞
d) monoton fallend: x
-2
und monoton steigend: x
-2
e) D = 3 →
2 Nullstellen
f) ymin = -3
Berechnung der Nullstellen der quadratischen Funktion y
= x² + px + q
allgemein:
y = x² + px + q →
y = 0 → 0 = x² + px
+ q (quadratische Gleichung in der Normalform)
→ Anwendung der
allgemeinen Lösungsformel: x1/2 = -p/2
± √(p/2)²
- q
→ Lösungen der
quadratischen Gleichung: x1 = -p/2
+ √(p/2)² - q
x2 = -p/2 -
√(p/2)² - q
→ Nullstellen der
zugehörigen quadratischen Funktion: xo1 =
-p/2 + √(p/2)²
- q
xo2 = -p/2 -
√(p/2)² - q
am Beispiel:
Geben Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion y = x² + 6x + 5 durch Lösung
der zugehörigen quadratischen Gleichung an!
y = x² + 6x + 5 →
y = 0 → 0 = x² + 6x
+ 5
→ Anwendung der
allgemeinen Lösungsformel: x1/2 = -p/2
± √(p/2)²
- q
→ x1/2 = -6/2
± √(6/2)²
- 5
→ Lösungen der
quadratischen Gleichung: x1 = -3 - 2 = -5
x2 = -3 + 2 = -1
→ Nullstellen der
zugehörigen quadratischen Funktion: xo1 =
-5
xo2 = -1
→ Zur Kontrolle die
graphische Darstellung der Funktion:
Merke:
Die Nullstellen der quadratischen Funktion y =
x² + px + q entsprechen den Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung
x² + px + q = 0.
8.
Ermittlung der Funktionsgleichung y = x² + px + q
bei zwei gegebenen Punkten
P und Q
Aufgabe:
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y =
x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte P und Q bekannt sind, die diese
Funktion erfüllen: P(5;6) und Q(2;3)! Formen Sie die ermittelte Normalform in
die Form
y = (x + d)² + e um und stellen Sie die Funktion
grafisch dar!
Lösung:
Punktkoordinaten von P und Q jeweils in die Funktionsgleichung (y = x² + px + q)
einsetzen
→ es ergibt sich ein lineares
Gleichungssystem (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten)
I. 6 = 5² + 5p
+ q
II. 3 = 2² + 2p + q
→ beide
Gleichungen (z. B.) nach „q“ umformen und dann gleichsetzen
I. q = -19 -5p
II. q = -1 – 2p
→ I =
II: - 19 -5p = -1 – 2p →
Gleichung nach p umformen → p = -6
→
p in Gleichung I oder II einsetzen und nach q umformen
→ q = 11
→
Funktionsgleichung: y
= x² - 6x + 11
→ Scheitelpunktkoordinaten S(-d;e)
aus
y = (x + d)² + e ermitteln
→
y = x² - 6x + 11
→
y = x² - 6x + 11 + 3² -
3³
→ y = x² -
6x + 3² + 11 – 3²
→
y = (x – 3)² + 2
→
S(3;2)
9. Übungen
1.
Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Funktion in der Normalform y =
x² + px + q, wenn vom Funktionsbild zwei Punkte A und B bekannt sind, die diese
Funktion erfüllen: A(2;1) und B(5;4)! Formen Sie die ermittelte Normalform in
die Form
y = (x + d)² + e um und stellen Sie die Funktion
grafisch dar!
2.
Diskutieren Sie eine quadratische Funktion der Form y = x² + px + q,
von deren Graph lediglich zwei Punkte P(1;0) sowie Q(4;-3) bekannt sind,
hinsichtlich:
a) Scheitelpunktkoordinaten
b) Wertebereich
c) Definitionsbereich
d) Monotonieverhalten
e) Existenz (Angabe) von Nullstellen
f) kleinster Funktionswert (Minimum)
g) Schnittpunkt mit der y-Achse
Zeichnen Sie zur Kontrolle das Bild der gesuchten quadratischen Funktion!
Lösungen
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