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Bewegung und Kongruenz



1.    Begriff der Bewegung

Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich. Man versteht darunter eine ...
... Verschiebung oder
... Drehung oder
... Spiegelung oder
... Nacheinanderausführung von Verschiebung, Drehung und Spiegelung

 

2.    Arten der Bewegungen

Verschiebung:

Für die Verschiebung einer ebenen Figur sind die Angabe der Verschiebungsrichtung und der Verschiebungsweite notwendig.
Hier dargestellt durch den Verschiebungspfeil PP'.

Eigenschaften der Verschiebung:

  • Für folgende Strecken gilt: AA' = BB' = CC' = DD'
     

Spiegelung:

Für die Spiegelung einer ebenen Figur sind die Angabe der Lage und der Richtung einer Spiegelgeraden notwendig.
Hier dargestellt durch die Gerade g(PQ).

Eigenschaften der Spiegelung:

  • Die Abstände vom Originalpunkt A zur Spiegelgerade und vom Bildpunkt A' zur Spiegelgerade g(PQ) sind jeweils gleich groß.

 

Drehung:

Für die Drehung einer ebenen Figur sind die Angabe eines Drehpunktes und der Größe des Drehwinkels notwendig.
 


Nacheinanderausführung von Drehung, Verschiebung und Spiegelung:

  • Drehung des Dreiecks ABC um D um Drehwinkel
  • Verschiebung des Dreiecks A'B'C' in Richtung PP'
  • Spiegelung des Dreiecks A''B''C'' an Geraden g(PQ)

Übung-Bewegung01:

Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Viereck A(3;8), B(5;9), C(5;12) und D(2;12), die Gerade g durch die Punkte P(3;6) und Q(11;10) sowie den Verschiebungspfeil von X(9;1) nach Y(15;1)!

  1. Spiegeln Sie das Viereck ABCD an der Geraden g(PQ)!

  2. Verschieben Sie das entstandene Viereck A'B'C'D' in Richtung des Verschiebungspfeiles XY um 6 Einheiten!

  3. Drehen Sie das entstandene Viereck A''B''C''D'' um den Drehpunkt B'' um 150°!

Lösung

3.    Eigenschaften der Bewegungen

Alle Figuren, die durch Bewegungen auseinander hervorgehen, sind deckungsgleich (kongruent).

 

Merke:
  1. Eine Figur F1 heißt kongruent (deckungsgleich) zu einer Figur F2, wenn es eine Bewegung gibt, die F1 auf F2 abbildet.
                                          F1    F2   
                             
    (F1 kongruent F2)
  2. Für kongruente Figuren gilt:
    • einander entsprechende Strecken sind gleich groß (z. B. AB A'B')
    • einander entsprechende Winkel sind gleich groß (z. B.  ABC    A'B'C')

4.    Kongruenzsätze für Dreiecke

 
1. Satz: Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, so sind sie zueinander kongruent. (SWS)

2. Satz: Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, so sind sie zueinander kongruent. (WSW)

3. Satz: Wenn zwei Dreiecke in allen drei Seiten übereinstimmen, so sind sie zueinander kongruent. (SSS)

4. Satz: Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem der größeren der beiden Seiten gegenüberliegendem Winkel übereinstimmen, so sind sie zueinander kongruent. (SSW)

Übung-Bewegung02:

Sind folgende Dreiecke ABC mit dem Winkel CAB und AB = c  konstruierbar?
Begründen Sie Ihre Antwort, wenn es nicht möglich sein sollte!
 
a) 
a = 5,5 cm
b = 4,5 cm
c = 2,5 cm
b)
a = 3,2 cm
b = 8,5 cm
c = 5,1 cm
c)
 a = 6,8 cm
20°
45°
d) 
c = 8 cm
35°
95°
e)
b = 7,5 cm
77°
110°
f)
c = 8 cm
b = 3 cm
100°
g)
24°
68°
88°
 

Lösung

5.    Beweisführungen mit Hilfe der Kongruenzsätze

Wie ist ein Beweis aufgebaut?

Voraussetzung: Was wird vorausgesetzt? 
Behauptung: Was wird behauptet?
Beweis: Beweis der Behauptung mit Hilfe der Voraussetzung sowie anderen schon bewiesenen Sätzen, Definitionen bzw. Regeln

Beispiele:
A1: Durch den Mittelpunkt M eines Kreises verlaufen zwei Geraden g1 und g2, die nicht senkrecht aufeinander stehen. Die Gerade g1 schneidet den Kreis in den Punkten A und B. Die Gerade g2 schneidet den Kreis in den Punkten C und D.
Verbindet man A mit C und B mit D, so entstehen die Dreiecke MAC und MBD.
a)   Entwerfen Sie eine Skizze!
b)   Beweisen Sie mit Hilfe der Kongruenzsätze, dass die Dreiecke MAC und MBD zueinander kongruent sind!

Skizze:

Beweis:
Voraussetzung: siehe Skizze und Aufgabenstellung  
Behauptung: Δ MAC    Δ MBD  

Beweis:

Δ MAC   Δ MBD Begründung
Die Radien im Kreis sind alle gleich lang.
Die Radien im Kreis sind alle gleich lang.
Scheitelwinkel sind gleich groß.

  Nach dem Kongruenzsatz "SWS" gilt: Δ MAC    Δ MBD                           w.z.b.w.

A2: Durch den Mittelpunkt M einer Strecke verlaufe die Gerade g. Die Lote von den Punkten A und B auf diese Gerade g haben die Fußpunkte C bzw. D.
a)   Entwerfen Sie eine Skizze!
b)   Beweisen Sie mit Hilfe der Kongruenzsätze, dass die Dreiecke AMC und BMD zueinander kongruent sind!
Skizze:

Beweis:
Voraussetzung: siehe Skizze und Aufgabenstellung  
Behauptung: Δ AMC    Δ BMD  

Beweis:

Δ AMC   Δ BMD Begründung
Scheitelwinkel sind gleich groß.
M ist Mittelpunkt von .
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen (  , da beides Lote auf g sind)

  Nach dem Kongruenzsatz "WSW" gilt: Δ AMC    Δ BMD                           w.z.b.w.