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© Peter Otto
schuelermosaik.de
 

Mengen und Abbildungen


1          Mengen

Begriffe:

Menge: .. ist die Gesamtheit gleichartiger Objekte (mit gleichen Eigenschaften bzw. Merkmalen). Es gibt endliche und unendliche Mengen.
Element einer Menge: ... ist ein Objekt aus einer Menge ()

Beispiele für Mengen und deren Elemente:

Mengen:

1.  Menge aller Punkte einer Ebene     M1     (unendlich)
2.  Menge der Eckpunkte eines Vierecks     M2     (endlich)
3.  Menge aller Primzahlen     M3     (unendlich)
4.  Menge aller geraden Primzahlen     M4    (endlich)
5.  Menge aller natürlichen Zahlen     M5 = N     (unendlich)
6.  Menge aller ganzen Zahlen     M6 = Z     (unendlich)
7.  Menge aller rationalen Zahlen     M7 = Q     (unendlich)
8.  Menge aller gebrochenen Zahlen     M8 = Q+     (unendlich)
9
.  Menge aller reellen Zahlen     M9 = R     (unendlich)

Element einer Menge:

M1 = {P1; P2; P3; ...}                             P2 M1      (Der Punkt P2 ist eine Element der Menge M1)
M2 = {A; B; C; D}                                D M2
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}                        4 N     aber:    -2   N
Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}                 -1 Z

Begriffe:

leere Menge:  ... ist eine Menge, die kein Element enthält
(Bsp.:   Menge der gemeinsamen Punkte zweier Parallelen     M = )
Teilmenge:  ... enthält nur einen Teil der Objekte einer Menge  (Untermenge einer Menge ()
M N     m   n M  (m M; n N)
M ist Teilmenge von N, wenn alle Elemente von M auch Elemente von N sind, aber nicht umgekehrt.
geordnetes Paar:  ... eine Menge mit zwei Elementen, deren Reihenfolge festgelegt ist {a; b} oder [a; b] oder (a; b)

Beispiele für Teilmengen:

Menge aller Primzahlen ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen  ...................  NP N
Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen  ...............  N Z
Menge der gebrochenen Zahlen ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen  ........  Q+ Q
Menge der rationalen Zahlen ist eine Teilmenge der reellen Zahlen  ..................  Q R

Beispiele für geordnete Paare:

  • Formate (Maße) von Zeichnungen, Papier und Büchern      (a x b  ......  Länge x Breite)
    {210 mm x 297 mm}                 →                  Breite = 210 mm
    {297 mm x 210 mm}                 →                  Breite = 297 mm

  • Angabe von Koordinaten im Koordinatensystem      (x; y)

 

2          Abbildungen

Arten von Abbildungen:

M1 ..... Originalmenge
M2 ..... Bildmenge   

mehrdeutige Abbildung eindeutige Abbildung eineindeutige Abbildung
(umkehrbar eindeutige Abbildungen)

 

Eindeutige Abbildungen:

Jedem Originalpunkt wird genau ein Bildpunkt zugeordnet.

Beispiele:

  1. Verschiebung von Punkten, Strecken, Figuren, ....

  2. Drehung, Spiegelung

  3. Die Menge der natürlichen Zahlen wird eindeutig auf die Menge der gebrochenen Zahlen zugeordnet. Es gibt keine Umkehrung!
    (Jedem Element von N ist genau ein Element von Q+ zugeordnet.)

  N 0 1 2 3 4 5 ....
     
  Q+ 0 1/1 4/2 6/2 8/2 10/2 ....

Durch die Eindeutigkeit der Abbildung können geordnete Paare der Elemente der beiden Mengen angegeben werden:

Beispiele:
→  Q+   :   [x; y]   →   [0; 0]  ,  [1; 1/1]  ,  [2; 4/2]  ,  [3; 6/2]  ,  [4; 8/2]  ,  ...

                     nicht aber:    [14/2; 7]            

Eineindeutige (umkehrbar eindeutige) Abbildungen:

Jedem Originalpunkt ist genau ein Bildpunkt zugeordnet und umgekehrt hat jeder Bildpunkt genau einen Originalpunkt.

Beispiele:

  1. Die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 2 (N1) wird eineindeutig auf die Menge der Teiler der Zahl 2 (T2) zugeordnet.
    N1 = {1;2}
    T2 = {1;2}
    N1 T2
    (Jedem Element von N1 ist genau ein Element von T2  zugeordnet und umgekehrt.)
     

Mehrdeutige Abbildungen:

Mindestens einem Originalpunkt sind mehrere Bildpunkte zugeordnet.

Beispiele:

  1. Verschiebung von Punkten, Strecken, Figuren, ....

  2. Drehung, Spiegelung

  3. Die Menge der natürlichen Zahlen wird eindeutig auf die Menge der gebrochenen Zahlen zugeordnet. Es gibt keine Umkehrung!
    (Jedem Element von N ist genau ein Element von Q+ zugeordnet.)
     

Abbildungen auf sich selbst:

Drehung eines Kreises um den Mittelpunkt M

→  A'

B  →  B'

M  →  M'

  • Der Drehpunkt M wird auf sich selbst abgebildet ( M = M').

  • Dreht man einen Kreis um seinen Mittelpunkt, so wird der Kreis auf sich selbst abgebildet.