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Einführung in die Bruchrechnung


1.  Der Bruchbegriff

Die Tafel unter drei Kindern aufteilen!

Die Schokoladentafel wird zer"brochen"       Jedes Kind erhält einen "Bruchteil".

Wenn die Tafel aus 15 Stücken Schokolade bestand, erhält jedes Kind 5 Stücke.

Jedes Kind erhält also 5 von 15 Stücken Schokolade!

Allgemein:


8 gleiche (Kreis)-Teile

          3 Teile von 8 Teilen hervorgehoben              3 von 8               

      (ein ganzer Kreis)
 

Bruchbegriff:   Ein Bruch ist ein Teil vom Ganzen.

Übungsaufgaben zum Bruchbegriff

 

2.  Arten von Brüchen


Gemischte Zahlen und unechte Brüche

Begriffe:

 unechter Bruch:  Bruch, bei dem gilt:  Zähler Nenner      z. B.:    9/oder  8/8

 gemischte Zahl:  ein Ausdruck aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch     z. B.:  3½  =  3 + ½

a)      Schreibe einen unechten Bruch als gemischte Zahl!

13/8        →

         1  + 5/8                   1 5/8   (Schreibweise)

Zusammenfassung:    13/8  =  1 5/8

 

 

14/3

 


 

       1 + 1 + 1 + 1 + 2/3   =  4 + 2/3  =  4 2/3

Zusammenfassung:    14/3  =  4 2/3

 

   Kürzer:

  Wie oft passt die 5 ganzzahlig in 287?                          →    5 3/5

Zusammenfassung:    28/5  =  5 3/5

 

45/4 = 11 + ¼  = 11 ¼
 

Zusammenfassung:    45/4  =  11 1/4

 

b)      Schreibe eine gemischte Zahl als unechten Bruch!

4 1/3   =  1 + 1 + 1 + 1 + 1/3  =  3/3 + 3/3 + 3/3 + 3/3 + 1/

 

 

= 13/3

 Kürzer:


 

Einfache Übungsaufgaben:

Arten von Brüchen

 1.       Ordne folgende Brüche in echte und unechte!

          5/9 , 27/18 , 17/8 , 13/20 , 7/7 , 1/9 , 7/5 , 5/8 , 12/9 , 8/11 , 18/18 , 100/25 , 26/1000

 2.       Verwandle folgende Brüche in ganze oder gemischte Zahlen!

          7/5 , 8/4 , 15/9 , 12/6 , 23/4 , 23/9 , 18/3 , 16/5 , 0/13 , 19/2 , 18/5 , 78/7 , 15/0 , 96/12

 3.       Verwandle folgende gemischte Zahlen in unechte Brüche!

          2 ½ , 3 ¾ , 1 5/6 , 4 8/9 , 5 2/5 , 9 5/8 , 7 2/3 , 6 11/12 , 7 13/15 , 11 4/5

Lösungen

 

3.      Rechnen mit Brüchen 

3.1      Vergleichen, Addieren und Subtrahieren von Brüchen

3.1.1   Darstellung von Brüchen auf dem Zahlenstrahl 

Merke:

●   Alle Brüche ein- und derselben Bruchwolke stellen denselben Bruch dar und gehen durch Kürzen und Erweitern auseinander hervor.

●   Alle Brüche, die denselben Nenner besitzen heißen gleichnamig.
(3/4 und 10/4
sowie  4/20 und 15/20 und 30/20)

 

3.1.2      Erweitern von Brüchen

Merke:

Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben (von Null verschiedenen) Zahl multipliziert.

Aufgaben:

Erweitere den Bruch 4/5 mit 3!

Lösung:

 

Erweitere den Bruch 12/7 mit 6!

Lösung:

Übungsaufgabe:

 Erweitere folgende Brüche nacheinander mit 5; 7 und 10 (im Kopf)!

3/5, 5/6, 4/7, 7/8, 9/10, 5/11 und 0/5


 

3.1.3      größter gemeinsamer Teiler (g. g. T.)

Merke:

·        Eine natürliche (von Null verschiedene) Zahl, die eine andere natürliche Zahl ganzzahlig teilt, heißt Teiler dieser natürlichen Zahl.

·        Jede natürliche Zahl hat stets sich selbst und die Zahl 1 als Teiler.

Aufgaben:

Ermittle den größten gemeinsamen Teiler (g. g. T.) der Zahlen 12 und 18! 

12

1

2

3

4

6

12

18

1

2

3

6

9

18

→   ggT = 3

Ermittle den größten gemeinsamen Teiler (g. g. T.) der Zahlen 24 und 48! 

24

1

2

3

4

6

8

12

 

24

 

48

1

2

3

4

6

8

12

16

24

48

→   ggT = 24

Ermittle den größten gemeinsamen Teiler (g. g. T.) der Zahlen 8, 16, 24 und 36! 

8

1

2

 

4

 

8

 

 

 

 

 

 

16

1

2

 

4

 

8

 

 

16

 

 

 

24

1

2

3

4

6

8

 

12

 

 

24

 

36

1

2

3

4

6

 

9

12

 

18

 

36

→   ggT = 4

Übungsaufgaben:

Bestimme von den folgenden Zahlen jeweils das g. g. T.!

a)     8 und 10

d)    24 und 40

b)     5 und 25

e)     12, 20 und 32

c)     30 und 45

f)     40, 48 und 72

Lösungen

 

3.1.4     Zehnerbrüche

Merke:

Zehnerbrüche sind Brüche mit dem Nenner 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 oder …

Beispiele:  4/10            27/1000              308/10000                 15/100                 23/10

Aufgaben:     Schreibe als Zehnerbruch! Beachte dabei die Stellenwerte!

                      a)   0,78     =    78/100
                      b)   0,9       =    9/10
                      c)   0,456   =    456/1000
                      d)   1,3       =    13/10
                      e)   0,07     =    7/100
                      f)    0,003   =    3/1000

Übungsaufgaben:

1.     Schreibe folgende Dezimalbrüche als Zehnerbrüche! Beachte dabei die Stellenwerte!

        a)     0,35       =
        b)     0,7         =
        c)     0,08       =
        d)     0,356     =
        e)     1,9         =
        f)      0,009     =
        g)     25,6       = 

2.     Schreibe folgende (gemeinen) Brüche als Dezimalbrüche!
        Verwende dazu gegebenenfalls den Taschenrechner!

        a)     1/2           =
        b)     1/4           =
        c)     1/3           =
        d)     1/5           =
        e)     5/6           =
        f)      5/8           =
        g)     28/5         = 

Lösungen


3.1.5      Kürzen von Brüchen

 

Merke:

Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe (von Null verschiedenen) Zahl (Teiler) dividiert.

Beispiel:   Kürze den Bruch 16/24 mit 2!

                  

Aufgabe:

Kürze den Bruch 36/48 vollständig! 

36/48

=

18/24

=

9/12

=

3/4

 

(mit 2)

 

(mit 2)

 

(mit 3)

 


oder kürzer (mit dem g.g.T.):

36/48

=

3/4

 

(mit 12)

 

 

Merke:

Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn der größte gemeinsame Teiler (g.g.T.) von Zähler und Nenner nur noch 1 beträgt (ggT = 1).

Beispiel:       Kürze den Bruch 12/18 vollständig! Bestimme dazu den g.g.T. (größter gemeinsamer Teiler)!

12

1

2

3

4

6

 

12

 

18

1

2

3

 

6

9

 

18

→   ggT = 6

12

=

12 : 6

=

2

18

 

18 : 6

 

3

Übung:

Kürze folgende Brüche vollständig!

30/45 ; 75/30 ; 105/45 ; 27/36 ; 18/48 ; 18/36 ; 180/150 ; 180/324

Lösung

3.1.6     Gleichnamigmachen von Brüchen

Aufgabe:      

Vergleiche das folgende Paar von Brüchen miteinander:  4/6 und 21/28!

Merke:

Um zwei Brüche miteinander vergleichen zu können, müssen diese gleichnamig gemacht werden, d. h. sie müssen denselben Nenner (Hauptnenner) besitzen.

Lösung:

Gleichnamigmachen der Brüche 4/6 und 21/28!

Vorgehen:   Ermittlung des Hauptnenners (kleinstes gemeinsames Vielfaches der einzelnen Nenner)

Merke:

Um zwei Brüche gleichnamig zu machen, ermittelt man jeweils gemeinsame Vielfache der Nenner. Das kleinste gemeinsame Vielfache (k.g.V.) dieser Nenner wird dann als gemeinsamer Nenner (Hauptnenner) verwendet.

1.     Ermittlung des k.g.V. durch Vergleich der Vielfachen der beiden Zahlen:

6

6

12

18

24

 

30

36

42

48

54

 

60

66

72

78

84

 

14

28

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

56

 

 

 

 

84

 

3

k. g. V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84

 

Ef

  k.g.V. = 84              Hauptnenner (HN) = 84

Bestimmung der Erweiterungsfaktoren:

 →  Ef1 = 84/28 = 3
   →  Ef2 = 84/6 = 14

2.     Erweitern der beiden Brüche

                                                           

3.     Vergleich der beiden Brüche!

Merke:

Man vergleicht zwei gleichnamige Brüche miteinander, indem man nur die Zähler vergleicht.

→    56/84  <  63/84, denn 56 < 63

 

Andere Variante:

Aufgabe:      

Vergleiche das folgende Paar von Brüchen miteinander:  4/20 und 9/45!

Ermittlung des Hauptnenners durch Zerlegung der einzelnen Nenner in ein Produkt aus Primzahlteilern (Primfaktoren):

20

2

2

 

 

5

 

 

9

45

 

 

3

3

5

 

 

4

HN

2

2

3

3

5

=

180

Ef

                                                    

→    36/180  =  36/180, denn 36 = 36

 

3.1.7     Übung zur Ermittlung des Hauptnenners von Brüchen

Aufgabe 1:

Bestimme den Hauptnenner der folgenden Brüche durch Primfaktorenzerlegung:
¾ ; 7/8 und 1/
6
Ermittle zusätzlich die jeweiligen Erweiterungsfaktoren (Ef)!

  Lösung:

4

2

2

 

 

 

6

8

2

2

2

 

 

3

6

2

 

 

3

 

4

HN

2

2

2

3

=  24

Ef

→    HN = 24
 

Aufgabe 2:

Bestimme den Hauptnenner der folgenden Brüche durch Primfaktorenzerlegung:
4
/5; 5/6 ; 5/8 ; 7/10 und 1/12!
Ermittle zusätzlich die jeweiligen Erweiterungsfaktoren (Ef)!

  Lösung:

5

 

 

 

 

5

 

24

6

2

 

 

3

 

 

20

8

2

2

2

 

 

 

15

10

2

 

 

 

5

 

12

12

2

2

 

3

 

 

10

HN

2

2

2

3

5

120

Ef

→    HN = 120
 

Aufgabe 3:

Bestimme den Hauptnenner der folgenden Brüche durch Primfaktorenzerlegung:
1
/12; 1/6 ; 1/16 und 1/8!
Ermittle zusätzlich die jeweiligen Erweiterungsfaktoren (Ef)!

 Lösung:

12

2

2

 

 

3

 

4

6

2

 

 

 

3

 

8

16

2

2

2

2

 

 

3

8

2

2

2

 

 

 

6

HN

2

2

2

2

3

48 

Ef

→    HN = 48

 

3.1.8  Addition und Subtraktion von Brüchen

Aufgabe 1:

Addiere die Brüche ½ ; 2/9 und 5/6!  Kürze das Ergebnis vollständig!

 

Merke:

Man addiert (subtrahiert) Brüche, indem man den Hauptnenner ermittelt, sie erweitert und dann nur die Zähler addiert (subtrahiert). Der gemeinsame Nenner (Hauptnenner) wird beibehalten.

Lösung:

1.

Hauptnenner ermitteln →  Erweiterungsfaktoren bestimmen (Ef = HN/N)

kleinstes gemeinsames Vielfache (k.g.V.):

2

2

4

6

8

 

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

9

9

 

 

 

 

9

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

2

6

 

 

6

 

 

 

12

 

 

18

 

 

24

 

 

3

kgV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

Ef

Ef = HN/N

→   k.g.V. = HN = 18

2.   Brüche mit den Erweiterungsfaktoren erweitern und addieren

     

3.   Vollständig kürzen

      28/18    =    14/9  (Ergebnis)
               
(mit 2)

 

Aufgabe 2:

Subtrahiere die Brüche 5/6 und 6/8 voneinander!  Kürze das Ergebnis vollständig!

Primfaktorenzerlegung:

6

2

 

 

3

 

4

8

2

2

2

 

 

3

HN

2

2

2

3

=  24

Ef

→   HN = 24

 

  2/24    =    1/12 (Ergebnis)
         (mit 2)


3.1.9  Übungsaufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

 

1.

Addiere folgende Brüche! Kürze die Ergebnisse vollständig!

 

a)

1/3 + 1/3 =

i)

3/4 + 5/8 + 1/6 =

 

b)

2/5 + 1/5 =

k)

3/5 + 5/7 + 1/2 =

 

c)

3/8 + 5/8 =

l)

4/5 + 5/6 + 3/8 =

 

d)

3/4 + 2/4 + 1/4 =

m)

5/12 + 7/16 =

 

e)

1/4 + 1/2=

n)

3/15 + 11/30 =

 

f)

2/3 + 3/4 =

o)

8/9 + 5/6 + 1/2 + 13/18 =

 

g)

2/3 + 4/5 =

p)

3/4 + 5/6 + 7/8 + 5/12 + 4/9 + 7/15 =

 

h)

3/4 + 1/2 + 1/4 =

q)

5/30 + 11/15 + 7/45 + 3/10 =

 

2.

Subtrahiere folgende Brüche! Kürze die Ergebnisse vollständig!

 

a)

2/31/3 =

e)

45/8 - 11/8 =

 

b)

4/52/5 =

f)

47/9 - 25/6 =

 

c)

4/51/2 =

g)

125/8 – 73/5 =

 

d)

7/83/4 =

h)

82/3 – 45/7 =

 

3.

Von einem Stoffballen, der 62 m misst, werden nacheinander folgende Mengen verkauft: 33/m, 71/2 m, 22/5 m, 14/5 m, 63/4 m, 103/10 m und 121/2 m.
Wie groß (in Metern) ist der Restbestand an Stoff?

 

4.

Addiere: 23 cm + 1/4 m 14,5 cm + 3/8 m +1,75 m +21/4 m 113/4 m!


 

3.2      Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

3.2.1  Multiplikation von Brüchen

Merke:

Man multipliziert zwei Brüche miteinander, indem man sowohl die beiden Zähler als auch die beiden Nenner miteinander multipliziert.

Es ist sinnvoll, die Brüche vor dem Multiplizieren zu kürzen, auch "über Kreuz".

Beispiele:

        a)

9

*

28

=

9 * 28

=

1 * 2

=

1 * 1

=

1

14

36

14 * 36

1 * 4

1 * 2

2

        b)

12

*

15

*

5

=

12 * 15 * 5

=

1 * 3 * 5

=

1 * 1 * 1

=

1

25

24

6

25 * 24 * 6

5 * 2 * 6

1 * 2 * 2

4

Übungsaufgaben:

a) b) c) d)
               
e) f) g)    

 Lösungen

3.2.2  Division von Brüchen

Merke:

Man dividiert zwei Brüche durcheinander, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert (Reziprokes) des zweiten Bruches multipliziert.

Die Brüche können nur bei der Multiplikation gekürzt werden!

Beispiele:

            a)

3

:

9

=

3

*

10

=

3 * 10

=

1 * 2

=

2

5

10

5

9

5 * 9

1 * 3

3

           b)

25

:

35

=

25

*

36

=

25 * 36

=

5 * 3

=

15

48

36

48

35

48 * 35

4 * 7

28

 

Übungsaufgaben:

a) b) c) d)
               
e) f) g)    

Lösungen 

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