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© Peter Otto
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Lineare Funktionen

[Begriff der linearen Funktion] [lineare Funktion der Form y = mx + n]


1     Begriff der linearen Funktion

1. 1   Aufgabe:

Gegeben sei eine Abbildung F mit folgender Zuordnungsvorschrift:
→  Jeder natürlichen Zahl x wird ihre Hälfte y zugeordnet.

a)  Gib in einer Zuordnungstabelle mindestens 5 Zahlenpaare an, die dieser Abbildung genügen!
b)  Stelle die gegebene Abbildung grafisch dar!


Lösung:

a)  Zuordnungstabelle:

x y = 1/2*x
0 0
1 1/2
2 1
3 3/2
4 2
5 5/2
6 3
7 7/2
8 4

x N

y Q+

b)  grafische Darstellung:

   Jede eindeutige Abbildung heißt Funktion.
 

1.2   Begriffe:

Originalmenge X Definitionsbereich X der Funktion
Bildmenge Y Wertebereich (Wertevorrat) Y der Funktion
Element der Originalmenge x Argument x    (x X)
Element der Bildmenge y Funktionswert y    (y Y)
(y ist der zu x gehörige Funktionswert)
Schreibweise y = f(x)  ..... y ist eine Funktion von x
Zuordnungsvorschrift  y = 1/2*x Funktionsgleichung   y = f(x) = 1/2*x


1. 3   Beschreibungsmöglichkeiten einer Funktion:

(1)  Wertetabelle
y = 2x
(2)  geordnete Zahlenpaare
[x; y]
(3)  grafische Darstellung
y = f(x) = 2x
 
x y = 2x
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6

[-1; -2]

[0; 0]

[1; 2]

[2; 4]

[3; 6]

   Eine Funktion heißt linear, wenn das Bild der grafischen Darstellung
             eine Gerade ist.

--------------

2     Einfache lineare Funktionen der Form y = mx + n


2. 1   Erklärung der Variablen in der Funktionsgleichung y = mx + n

y →  Ordinate (y-Wert) [y Î R]

x  →  Abszisse (x-Wert) [x Î R]

m →  Anstieg der Gerade (Funktionsbild; Graph) [m Î R]

n →  Ordinate des Schnittpunktes der Gerade mit der y-Achse [n Î R]



2. 2   Graphische Darstellung der linearen Funktion

(1)     y = 3x - 4

Wertetabelle:

Y = 3x - 4       x
2 2
-1 1
-4 0
-7 -1
-10 -2

Grafische Darstellung:

 

(2)     y = -1/2x + 3

Wertetabelle:

Y = -1/2x + 3       x
0 6
1 4
2 2
3 0
4 -2

Grafische Darstellung:

2. 3   Monotonieverhalten

m < 0     →     Der Graph der linearen Funktion ist im gesamten Definitionsbereich (- ¥ £ x £ ¥) monoton fallend.

m > 0     →     Der Graph der linearen Funktion ist im gesamten Definitionsbereich (- ¥ £ x £ ¥) monoton steigend.

 

2. 4   Nullstellen

Die Nullstelle einer linearen Funktion ist die Abszisse des Schnittpunktes des Graphen mit der x-Achse.

Beispiel:

y = -1/2x + 3

 

2. 5   Berechnung der Nullstelle

Gedanke:  Die Ordinate der Nullstelle ist stets Null.

→     Y = 0

→     0 = -1/2x + 3   (→ Gleichung nach x umformen!)

→    -3 = -1/2x

→     6 = xo   →     Die Nullstelle der linearen Funktion y = -1/2x + 3 lautet xo = 6.