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Ähnlichkeit



1.  Maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen

 


Original der BR 218


HO-Modell der BR 218

Für eine maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen ist die Angabe eines Abbildungsmaßstabes notwendig.

------------

Beim HO-Modell der BR 218 beträgt der Abbildungsmaßstab 1 : 87, d. h. 1 cm beim HO-Modell entsprechen 87 cm beim Original.

oder

anders ausgedrückt: Das Original ist 87 x größer als das HO-Modell.

→ Allgemein: Das Original ist k-mal größer als das Modell.

                     (k ist dabei der Vergrößerungsfaktor)

Beispiele für maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen

(1)      Ein D-Zug-Wagen hat im Original eine Länge von 21,75 m.
          Wie lang ist dieser Wagen bei einem H0-Model (Abbildungsmaßstab 1 : 87)?

          Lösung:

          gegeben:      Wagenlänge Original = 21,75 m = 2175 cm
                              Abbildungsmaßstab = 1 : 87

          gesucht:       Wagenlänge Modell (in cm)

          Lösung:        

                              
                              
                               Wagenlänge Modell  = 25 cm


(2)      Auf einer Landkarte im Maßstab von 1 : 50000 beträgt die Entfernung zweier Orte 2,5 cm.
          Wie weit sind die beiden Orte in Wirklichkeit (in der Natur) von einander entfernt?

          Lösung:

          gegeben:        Kartenmaßstab 1 : 50000
                               Entfernung Karte = 2,5 cm

          gesucht:         Entfernung Natur (in km)

          Lösung:         

                              

                              

                               Entfernung Natur = 125000 cm = 1,25 km

2Zentrische Streckungen

Definition:

Eine zentrische Streckung der Ebene ist eine eineindeutige Abbildung der Ebene auf sich, bei der jedem Punkt P der Ebene sein Bildpunkt P' folgendermaßen zugeordnet wird:

  1. Ein Punkt wird als Streckungszentrum Z festgelegt.

  2. Eine positive reelle Zahl wird als Streckungsfaktor k festgelegt.

  3. P' liegt auf dem Strahl ZP' (ZP' = k * ZP)
    →  k = ZP'/ZP

  4. Z hat sich selbst als Bildpunkt.

Beispielaufgabe:

Das Dreieck ABC soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Dreieck A(5;1), B(6;5) und C(4;4)!
b) Zeichnen Sie nun das Dreieck A'B'C', das bei einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC mit dem
    Streckungszentrum Z(2;1) und dem Streckungsfaktor k = 5/3 entsteht!

Hinweise zur Lösung:

k = ZA'/ZA = ZB'/ZB = ZC'/ZC = A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = 5/3

(ZA = 3 Einheiten und ZA' = 5 Einheiten)

Zur Konstruktion dieser zentrischen Streckung benötigen Sie die konstruktive Vervielfältigung einer Strecke!

Übungsaufgabe 1:

Das Dreieck ABC soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Dreieck A(5;1), B(6;5) und C(4;4)!
b) Zeichnen Sie nun das Dreieck A'B'C', das bei einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC mit dem
    Streckungszentrum Z(2;1) und dem Streckungsfaktor k = 3 entsteht!

Lösung

Übungsaufgabe 2:

Das Dreieck PQR soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Dreieck P(2;1), Q(5;1) und R(2;3)!
b) Zeichnen Sie nun das Dreieck P'Q'R', das bei einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC mit dem
    Streckungszentrum Z(0;0) und dem Streckungsfaktor k = 2 entsteht!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks PQR!
d) Es sei A' der Flächeninhalt des Dreiecks P'Q'R'.
    Geben Sie das Verhältnis A' : A an!

Lösung

 

Merke:

Ebene Figuren (z. B. Dreiecke und Vierecke), die durch zentrische Streckung auseinander hervorgehen, sind einander ähnlich.
Kreise und Quadrate sind stets einander ähnlich.

3.    Der Strahlensatz

1. Teil des Strahlensatzes: Werden zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt S von zwei Parallelen geschnitten, dann verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl zueinander wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem anderen.
 
Beispiele:

  →   →    x = 10 cm
  →  →   x = 6 cm


2. Teil des Strahlensatzes: Werden zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten, dann verhalten sich je zwei Parallelenabschnitte zueinander wie die zugehörigen Strahlenabschnitte ein und desselben Strahls.


Beispiele:

  →     →     x = 9 cm

  →    x = 9 cm

AS = 6 cm SC = 3 cm CD = 2 cm
 →  →    x = 4 cm

3. Teil des Strahlensatzes: Werden zwei Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt von zwei Parallelen geschnitten, dann verhalten sich die Abschnitte auf der einen Parallelen zueinander wie die gleichliegenden Abschnitte auf der anderen Parallelen.

Beispiel:

→     x = 8 cm

Umkehrung
des 1. Teiles des Strahlensatzes:
Bilden gleichliegende Strahlenabschnitte zweier Strahlen mit gemeinsamen Anfangspunkt das gleiche Verhältnis, so werden sie von parallelen Geraden erzeugt.
Wenn gilt:

dann folgt daraus:

g ║ h

 

Beispielaufgabe:

Problem:

Landvermessung für eine Trasse der Autobahn
Die geplante Trasse (Messstrecke AB) führt durch ein unübersichtliches Sumpfgebiet, Abstecken und Messung sind in diesem Gebiet nicht möglich. Aus diesem Grunde werden auf dem festen Untergrund (Wiese - Grasland - Weg) Messpunkte eingerichtet.
Vom Standort P (Standort des Beobachters) werden diese Messpunkte angepeilt.

Aus den Peilungen ergeben sich folgende Streckenlängen:
PB = 703 m                     PD = 120 m                      CD = 100 m                     

       

Lösung des Problems nach dem 2. Teil des Strahlensatzes:

Nach dem 2. Teil des Strahlensatzes gilt:            

                   x = 585,83 m      x ≈ 586 m

 Die Messstrecke durch das Sumpfgebiet hat eine Länge von rund 586 m.