Gondrams buntes Schülermosaik

Erklärungen, Hilfen, Übungen und Aufgaben in Mathematik

Maßstäbliche Verkleinerungen und Vergrößerungen
Zentrische Streckungen
Strahlensätze
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Beweisführungen mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze
Die Kongruenzsätze als Sonderfall der Ähnlichkeitssätze

1. Maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen

Original der BR 218

HO-Modell der BR 218

Für eine maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen ist die Angabe eines Abbildungsmaßstabes notwendig.

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Beim HO-Modell der BR 218 beträgt der Abbildungsmaßstab 1 : 87, d. h. 1 cm beim HO-Modell entsprechen 87 cm beim Original.

oder

anders ausgedrückt: Das Original ist 87 x größer als das HO-Modell.

→ Allgemein: Das Original ist k-mal größer als das Modell.

(k ist dabei der Vergrößerungsfaktor)

Beispiele für maßstäbliche Vergrößerungen und Verkleinerungen

(1) Ein D-Zug-Wagen hat im Original eine Länge von 21,75 m.
Wie lang ist dieser Wagen bei einem H0-Model (Abbildungsmaßstab 1 : 87)?

Lösung:

gegeben: Wagenlänge _Original = 21,75 m = 2175 cm
Abbildungsmaßstab = 1 : 87

gesucht: Wagenlänge _Modell(in cm)

Lösung:

                               Wagenlänge _Modell= 25 cm

(2) Auf einer Landkarte im Maßstab von 1 : 50000 beträgt die Entfernung zweier Orte 2,5 cm.
Wie weit sind die beiden Orte in Wirklichkeit (in der Natur) von einander entfernt?

Lösung:

gegeben: Kartenmaßstab 1 : 50000
Entfernung _Karte = 2,5 cm

gesucht: Entfernung _Natur (in km)

Lösung:

Entfernung _Natur = 125000 cm = 1,25 km

2. Zentrische Streckungen

Definition:

Eine zentrische Streckung der Ebene ist eine eineindeutige Abbildung der Ebene auf sich, bei der jedem Punkt P der Ebene sein Bildpunkt P' folgendermaßen zugeordnet wird:

Ein Punkt wird als Streckungszentrum Z festgelegt.
Eine positive reelle Zahl wird als Streckungsfaktor k festgelegt.
P' liegt auf dem Strahl ZP' (ZP' = k * ZP)
→ k = ZP'/ZP
Z hat sich selbst als Bildpunkt.

Beispielaufgabe:

Das Dreieck ABC soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Dreieck A(5;1), B(6;5) und C(4;4)!
b) Zeichnen Sie nun das Dreieck A'B'C', das bei einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC mit dem
Streckungszentrum Z(2;1) und dem Streckungsfaktor k = 5/3 entsteht!

Hinweise zur Lösung:

k = ZA'/ZA = ZB'/ZB = ZC'/ZC = A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = 5/3

(ZA = 3 Einheiten und ZA' = 5 Einheiten)

Zur Konstruktion dieser zentrischen Streckung benötigen Sie die konstruktive Vervielfältigung einer Strecke!

Übungsaufgabe 1:

Lösung

Übungsaufgabe 2:

Das Dreieck PQR soll zentrisch gestreckt werden.
a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem das Dreieck P(2;1), Q(5;1) und R(2;3)!
b) Zeichnen Sie nun das Dreieck P'Q'R', das bei einer zentrischen Streckung des Dreiecks ABC mit dem
Streckungszentrum Z(0;0) und dem Streckungsfaktor k = 2 entsteht!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks PQR!
d) Es sei A' der Flächeninhalt des Dreiecks P'Q'R'.
Geben Sie das Verhältnis A' : A an!

Lösung

Merke:

Ebene Figuren (z. B. Dreiecke und Vierecke), die durch zentrische Streckung auseinander hervorgehen, sind einander ähnlich.

Kreise und Quadrate sind stets einander ähnlich.