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Die Prozentrechnung


Inhalt:

1.
Einführung
2.
Beispielaufgaben und Lösungen zu den Größen der Prozentrechnung
3.
Der vermehrte und der verminderte Grundwert
4.
Übungsaufgaben zur Prozentrechnung

 

1. Einführung

  In einem Sonderverkauf wird auf verschiedene Artikel ein Preisnachlass gewährt: z. B.:
  • ein Hemd im Wert von 25,00 € ein Nachlass von 8,00 €
  • ein Pullover im wert von 50,00 € ein Nachlass von 15,00 €

Bei welchem Artikel ist der Preisnachlass bezogen auf den Wert des Artikels höher?

Lösung:

Bereitstellung der Lösung mit Hilfsmitteln (Stoff), die schon bekannt sind: Bruchrechnung

Hemd: 8 € von 25 €


gleichnamig
machen

       
Pullover: 15 € von 50 €

       

Ergebnis:

Der Preisnachlass beim Hemd ist bezogen auf den Wert des Artikels größer als beim Pullover.

Problem:

Beim Vergleich von vielen Artikeln ist diese Methode sehr ungünstig und zeitaufwendig, da man immer wieder einen gemeinsamen Nenner bestimmen muss.
Ein direkter Vergleich solcher Preisnachlässe ist also auf diese Weise nicht möglich!


Besser:
      Einheitliche Vergleichszahl schaffen!


Die Zahl 100


Also jetzt:
      Preisnachlass ermitteln bezogen auf jeweils 100 €

Hemd: 8 € von 25 €  bezogen auf 100


gleichnamig machen
(mit dem gemeinsamen Nenner = 100)

   32 von 100
Pullover: 15 € von 50 € bezogen auf 100    30 von 100

"von Hundert" lat. "pro centum" %

Schreibweisen:

32 % "Prozent" Alle 3 Schreibweisen werden gleichberechtigt verwendet!
32 v. H. "von Hundert"
0,32

Die Größen der Prozentrechnung:

z. B.: 8,00 € von 25,00 € = 0,32     = 32 %
     
Prozentwert
("Teil vom Ganzen")
  Grundwert
("Das Ganze" = 100 %)
    Prozentsatz
(%)

 

Die Grundgleichung der Prozentrechnung:

  W...       Prozentwert
G...        Grundwert
p...         Prozentsatz (in %)
100 ...    100 %
 

ð Umformung nach den jeweiligen Größen:

 
     
Prozentwert Grundwert Prozentsatz

2.   Beispielaufgaben zu den 3 Größen der Prozentrechnung

Hinweis:
Die Beispielaufgaben sind bewusst so gewählt, dass man sie zum Vergleich auch im Kopf lösen könnte!

2. 1. Der Prozentwert

Aufgabe: Wie viel Euro sind 12 % von 500,- €?

Lösungsmöglichkeiten:

(1) Grundgleichung der Prozentrechnung    W = ?
 G = 500 €
 p = 12 %

 
   
 

 W = 60 €

12 % von 500 € sind 60 €.

----------------------------------------------------------------------------

(2) Zurückführung auf 1 Prozent (1 %)     →    1 % von 500 €   (= 500/100)  =  5 €

                                                                    →

12 % von 500 €  ()  = 60 €

----------------------------------------------------------------------------

(3) Proportion - gerades Verhältnis (Dreisatz)    → 500 € 100 %
    x      12 %

                                                                               → 

   x = 60 €

----------------------------------------------------------------------------

(4) einfache und kurze Schreibweise                   → 12 %  (= 12/100)  =  0,12
 
12 % von 500 €    =   60 €
   

2. 2. Der Prozentsatz

Aufgabe: Wie viel Prozent (%) sind 36 m von 144 m?

Lösungsmöglichkeiten:

(1) Grundgleichung der Prozentrechnung   →  W = 36 m
 G = 144 m
 p = ?

                                                                      →

 
   
   p = 25 % 36 m von 144 m sind 25 %.

 

(2) Proportion - gerades Verhältnis
     (Dreisatz)
                                        →
144 m 100 %
  36 m       x
 

                                                             →

 
   x = 25 %
 
(3) einfache und kurze Schreibweise         → 36 m von 144 m  Vergleich  → = 0,25
  = 25 %  

Einfache Prozentsätze:

100 % = 1 (Ganzes)

50 % = 0,5 (= 1/2)

75 % = 0,75 (= 3/4)

33,33... % = 0,3333... (= 1/3)

25 % = 0,25 (= 1/4)

20 % = 0,2 = (= 1/5)

  231 % = 2,31

116,5 % = 1,165

88,6 % = 0,886

12,45 % = 0,1245

2,5 % = 0,025

0,56 % = 0,0056

  1,85 = 185 %

1 (Ganzes) = 100 %

0,98 = 98 %

0,752 = 75,2 %

0,031 = 3,1 %

0,007 = 0,7 %

 

2. 3. Der Grundwert

Aufgabe: Berechne den Grundwert, wenn 9 % dieses Grundwertes 72 kg sind!

Lösungsmöglichkeiten:

(1) Grundgleichung der Prozentrechnung               →
W = 72 kg
G  = ?
p  = 9 %

   
  G = 800 kg 9 % von 800 kg sind 72 kg.

----------------------------------------------------------------------------

(2) Proportion - gerades Verhältnis (Dreisatz)      →      x      100 %
  72 kg        9 %

                                                                                 →

   x = 800 kg

 

2. 4. Einfache Übungen

  1. einfache Prozentsätze (Kopfrechnen)
  2. einfache Prozentwertaufgaben (Kopfrechnen)
  3. einfache Prozentsatzaufgaben (Kopfrechnen)

 

3. Der verminderte und der vermehrte Grundwert

3. 1 Grundlagen

Beim vermehrten Grundwert wird der normale Grundwert (Das Ganze = 100 %) um einen bestimmten Prozentsatz vermehrt (gesteigert).

 

z. B.

     
 

100 % + p

112 %

 

Beim verminderten Grundwert wird der normale Grundwert (Das Ganze = 100 %) um einen bestimmten Prozentsatz vermindert (verringert).

 

z. B.

     
 

100 % - p

87 %

3. 2. Beispielaufgaben

  1. Der Preis einer Ware, wurde um 12 % erhöht und beträgt jetzt 135,60 €.
    a) Wie viel Euro betrug der Preis vorher?
    b) Wie groß ist die Preiserhöhung

Lösung:

a)  Ansatz:

             135,60 €   112 %
                      x      100 %

x = 121,07 €

b) Preiserhöhung:       135,60 € - 121,07 = 14,53 €                                     (vermehrter Grundwert)


  1. Der Verkaufspreis für eine Ware beträgt 1205,70 €.
    Wie hoch ist der darin enthaltene Mehrwertsteuerbetrag bei einem derzeitigen Mehrwertsteuersatz von 19 %?

Lösung:

Ansatz:

              1205,70 € 119 %
                         x      19 %

x = 192,51 €

                                                                                                                        (vermehrter Grundwert)


  1. Nach einer Preissenkung um 11½ % beträgt der Preis für eine Ware nur noch 78,75 €.
    Wie hoch war der Preis vor der Senkung?

Lösung:

Ansatz: 

               78,75 €   88,5 %
                       x      100 %

 x = 88,98 €

                                                                                                                        (verminderter Grundwert)


  1. Nachdem ein Paar Schuhe zweimal hintereinander um jeweils 25 % ermäßigt wurden, kosten sie jetzt 54,- €.
    Wie teuer waren die Schuhe ursprünglich?

Lösung:

Ansatz:

            54,00 €   75 %
                   x     100 %

x = 72,00 €


 

            72,00 €      75 %
                   x       100 %

x = 96,00 €

Die Schuhe kosteten ursprünglich 96,00 €.

                                                                                                                      (verminderter Grundwert)


  1. Beim Trocknungsprozess von Kamille tritt ein Flüssigkeitsverlust von ca. 40 % auf. Es bleiben noch 7 kg übrig.  Wie hoch ist der Flüssigkeitsverlust in kg?

Lösung:

Ansatz: 

        7 kg     60 %
           x        40 %

 

   x = 4,7 kg Der Flüssigkeitsverlust beim Trocknen beträgt 4,7 kg..

                                                                                                                       (verminderter Grundwert)

4. Übungsaufgaben zur Prozentrechnung

Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4

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