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Quadratische Gleichungen


[Allgemeine Form] [Normalform] [(x - x1)(x - x2) = 0] [x² + q = 0] [x² + px = 0]
[Lösungsformel] [Diskriminante]


1. Begriff:

Eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 für a, b, c R und a ≠ 0 heißt quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades    allgemeine Form der Gleichung einer quadratischen Gleichung.
              

Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten.

 

2. Sonderfälle

2.1  Normalform  x² + px + q = 0

             ax² + bx + c = 0       | : a

→         x² + b/ax + c/a = 0                       x² + px + q = 0

Merke:
Eine Gleichung der Form x² + px + q = 0 heißt Normalform einer quadratischen Gleichung.
(p = b/a   und   q = c/a  sowie p, q R)



2.2  Gleichung der Form (x - x1)(x - x2) = 0

                                      ↓    Ein Produkt ist Null, wenn mindestens 1 Faktor Null ist.

            x - x1 = 0                           x - x2 = 0
 →       xI = x1                        →    xII = x2
            (Zwei Lösungen:  (x1, x2)

Merke:
Die quadratische Gleichung (x - x1)(x - x2) = 0 hat genau 2 Lösungen x1 und x2.
Die Faktoren (x - x1) und (x - x2) heißen Linearfaktoren.

Beispiele:

(1)  (x - 3)(x - 7) = 0                                    (2)  (x - 9)(x + 4) = 0

       x - 3 = 0         x - 7 = 0                                 x - 9 = 0           x + 4 = 0
      x1 = 3        x2 = 7                                x1 = 9       →    x2 = -4

(3)  (x + 0,3)(x - 1) = 0            →   Lösungen nur ablesen!

       →  x1 = -0,3
       →  x2 = 1

(4)                                         (5)   x² = 0         

        →  x1 = -3                                                                         →  x1 = 0          
        →  x2 = 0                                                                          →  x2 = 0

2.3  Gleichung der Form   x² + q = 0

Normalform x² + px + q = 0 mit p = 0      →       x² + q = 0

→    x² + q = 0   | -q         
→    x² = -q        |

→    =
→   
→   2 Lösungen:      +x =                x1 = +

                                -x =         →       x2 = -

Merke:
Die quadratische Gleichung x² + q = 0 hat nur für q 0 Lösungen.
Für q < 0 hat die Gleichung x² + q = 0 genau zwei Lösungen:  x1 = + und  x2 = - .
Für q = 0 hat die Gleichung x² + q = 0 genau eine Lösung:  x = 0  (Doppellösung x1 = x2).


Beispiele:

(1)  x² -16 = 0      (→ q = -16   →   -q = 16)

→  x1 =  4
      x2 = -4

(2)  x² + 9 = 0      (→ q = 9   →   -q = -9)

→   keine Lösung

(3)   x² - 3 = 0    (→ q = -3   →   -q = 3)

→  x1 =    Ö3
      x2 =
 -Ö3

2.4  Gleichung der Form   x² + px = 0

Normalform x² + px + q = 0 mit q = 0      →       x² + px = 0


     x² + px = 0

                x ausklammern!

     x(x + p) = 0

            ↓                            ↓

       x = 0                      x + p = 0

→  x1 = 0                    →  x2 = -p

Merke:
Die quadratische Gleichung x² + px = 0 hat genau zwei Lösungen: x1 = 0 und x2 = -p.


Beispiele:

(1)  x² + 6x = 0      →     x(x + 6) = 0   →   x1 = 0
                                                             →   x2 = -6

(2)  x² - 3/2x = 0     →     x(x - 3/2) = 0   →   x1 = 0
                                                                   →   x2 = 3/2

3. Lösung der Normalform einer quadratischen Gleichung

3.1  Herleitung der allgemeinen Lösungsformel

       x² + px + q = 0

                 (quadratische Ergänzung bilden)

x² + px + (p/2 - (p/2 + q = 0  | + (p/2)² + q
                  x² + px + (p/2)² = (p/2)² + q

                 (Binomische Formel anwenden)

                            (x + p/2)² = (p/2)² + q |

               (Gleichung nach x umformen)

            = 

                  = 

→             =  |  |

→                  =    |

→                         x =

                 allgemeine Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung

                          

3.2  Lösbarkeit quadratischer Gleichungen - Diskriminante

=    →    Diskriminante

Für D gibt es innerhalb der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen   drei Möglichkeiten:

Fall 1:     D < 0 } keine Lösung
 Radikant D ist negativ
 
Fall 2:     D = 0 }  genau eine Lösung
(Doppellösung)
 
Fall 3:     D > 0 } genau zwei reelle Lösungen

x1 und x2

 

Merke:
Über die Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung gibt die Diskriminante D Auskunft.

D =    (Normalform)

D =   (allgemeine Form)

Fallunterscheidung:
D > 0      →       Die quadratische Gleichung hat genau 2 reelle Lösungen x1 und x2.
D = 0      →       Die quadratische Gleichung hat genau 1 reelle Doppellösung x =
x1 = x2.
D < 0      →       Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung.

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