Quadratische Gleichungen

[Allgemeine Form] [Normalform] [(x - x₁)(x - x₂) = 0] [x² + q = 0] [x² + px = 0]
[Lösungsformel] [Diskriminante]

1. Begriff:

Eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 für a, b, c R und a ≠ 0 heißt quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades  →   allgemeine Form der Gleichung einer quadratischen Gleichung.
               ↓
Die Zahlen a, b, c heißen Koeffizienten.

2. Sonderfälle

2.1  Normalform  x² + px + q = 0

             ax² + bx + c = 0       | : a

→         x² + ^b/_ax + ^c/_a = 0              →         x² + px + q = 0

Merke:
Eine Gleichung der Form x² + px + q = 0 heißt Normalform einer quadratischen Gleichung.
(p = ^b/_a   und   q = ^c/_a  sowie p, q R)

2.2  Gleichung der Form (x - x₁)(x - x₂) = 0

                                      ↓    Ein Produkt ist Null, wenn mindestens 1 Faktor Null ist.

            x - x₁ = 0                           x - x₂ = 0
 →       x_I = x₁                        →    x_II = x₂             (Zwei Lösungen:  (x₁, x₂)

Beispiele:

(1)  (x - 3)(x - 7) = 0                                    (2)  (x - 9)(x + 4) = 0

       x - 3 = 0         x - 7 = 0                                 x - 9 = 0           x + 4 = 0
 →     x₁ = 3    →    x₂ = 7                          →      x₁ = 9       →    x₂ = -4

(3)  (x + 0,3)(x - 1) = 0            →   Lösungen nur ablesen!

       →  x₁ = -0,3
       →  x₂ = 1

(4)                                         (5)   x² = 0    →     

        →  x₁ = -3                                                                         →  x₁ = 0          
        →  x₂ = 0                                                                          →  x₂ = 0

2.3  Gleichung der Form   x² + q = 0

Normalform x² + px + q = 0 mit p = 0      →       x² + q = 0

→    x² + q = 0   | -q         
→    x² = -q        |
→    =
→   
→   2 Lösungen:      +x =         →       x₁ = +

                                -x =         →       x₂ = -

Merke:
Die quadratische Gleichung x² + q = 0 hat nur für q 0 Lösungen.
Für q < 0 hat die Gleichung x² + q = 0 genau zwei Lösungen:  x₁ = + und  x₂ = - .
Für q = 0 hat die Gleichung x² + q = 0 genau eine Lösung:  x = 0  (Doppellösung x₁ = x₂).

Beispiele:

(1)  x² -16 = 0      (→ q = -16   →   -q = 16)

→  x₁ =  4
      x₂ = -4

(2)  x² + 9 = 0      (→ q = 9   →   -q = -9)

→   keine Lösung

(3)   x² - 3 = 0    (→ q = -3   →   -q = 3)

→  x₁ =    Ö3
      x₂ =  -Ö3

2.4  Gleichung der Form   x² + px = 0

Normalform x² + px + q = 0 mit q = 0      →       x² + px = 0

     x² + px = 0

            ↓    x ausklammern!

     x(x + p) = 0

            ↓                            ↓

       x = 0                      x + p = 0

→  x₁ = 0                    →  x₂ = -p

Beispiele:

(1)  x² + 6x = 0      →     x(x + 6) = 0   →   x₁ = 0
                                                             →   x₂ = -6

(2)  x² - ³/₂x = 0     →     x(x - ³/₂) = 0   →   x₁ = 0
                                                                   →   x₂ = ³/₂

3. Lösung der Normalform einer quadratischen Gleichung

3.1  Herleitung der allgemeinen Lösungsformel

       x² + px + q = 0

              ↓   (quadratische Ergänzung bilden)

x² + px + (^p/₂)² - (^p/₂)² + q = 0  | + (^p/₂)² + q
                  x² + px + (^p/₂)² = (^p/₂)² + q

              ↓   (Binomische Formel anwenden)

                            (x + ^p/₂)² = (^p/₂)² + q |

            ↓   (Gleichung nach x umformen)

 →           = 

→                  = 

→             =  |  |

→                  =    |

→                         x =

                ↓  allgemeine Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung

3.2  Lösbarkeit quadratischer Gleichungen - Diskriminante

=    →    Diskriminante

Für D gibt es innerhalb der allgemeinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen   drei Möglichkeiten:

Fall 2:     D = 0	}	genau eine Lösung (Doppellösung)

Fall 3:     D > 0	}	genau zwei reelle Lösungen x1 und x2

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